Μετάβαση στο κύριο περιεχόμενο

Κατανόηση της κλίμακας

Εικονίδιο Εργαλειοθήκης Εκπαιδευτικού Εργαλειοθήκη Δασκάλου - Ο Σκοπός αυτής της σελίδας

Σκοπός αυτής της σελίδας είναι να παρέχει πρακτική εξάσκηση και περιεχόμενο για την κλιμάκωση που θα πρέπει να ολοκληρώσουν οι μαθητές στο Σχεδιασμό και Κλιμάκωση μιας Διαδρομής Αγώνων και αργότερα στο Robo Rally Challenge.

Εμπλέξτε τους μαθητές σε μια συζήτηση σε ολόκληρη την τάξη για να επανεξετάσουν τις ερωτήσεις της Συζήτησης Κινήτρων. Ζητήστε από τους μαθητές να γράψουν την εργασία και τις σκέψεις τους στο σημειωματάριο μηχανικής τους.

Χάρτης του κόσμου με κινούμενα σχέδια με επικάλυψη πλέγματος κλίμακας και χάρακα που συμβολίζει την έννοια της κλίμακας.
Η χρήση της κλίμακας είναι μια σημαντική δεξιότητα που πρέπει να μάθετε.

Τι είναι η «Κλίμακα»;

Η κλίμακα είναι η σχέση ή ο λόγος μεταξύ μιας καθορισμένης απόστασης σε έναν χάρτη ή ένα σχέδιο και των αντίστοιχων αποστάσεων στην πραγματική ζωή. Τα υλικά που χρησιμοποιούν κλίμακα, όπως τα σχέδια, θεωρούνται συχνά πιο πολύτιμα επειδή επιτρέπουν στον χρήστη να αντιλαμβάνεται την απόσταση οπτικά, καθιστώντας τα έτσι πιο αποτελεσματικά μοντέλα. Η δυνατότητα μετατροπής μετρήσεων κατά την εργασία με κλίμακα είναι σημαντική για σταδιοδρομίες που ενσωματώνουν χάρτες, σχέδια και αρχιτεκτονικά μοντέλα. Επαγγελματίες όπως αρχιτέκτονες, μηχανικοί, στρατιωτικοί και σκηνογράφοι χρησιμοποιούν όλοι την κλίμακα με κάποιο τρόπο στον κλάδο τους.

Η ανάπτυξη ενός λεπτομερούς σκίτσου ως σχεδίου είναι ένα σημαντικό βήμα στη διαδικασία σχεδιασμού μηχανικής. Όταν δημιουργούμε ένα αντίγραφο ενός αντικειμένου σε κλίμακα, το πρωτότυπο και το αντίγραφο πρέπει να έχουν τις ίδιες αναλογίες. Για να παρουσιάσουμε πόσο ένα αντικείμενο έχει στην πραγματικότητα μικρύνει (ή αυξηθεί), συχνά χρησιμοποιούμε αναλογίες. Αυτές οι αναλογίες εμφανίζονται στο αντίγραφο σε κλίμακα, έτσι ώστε το πραγματικό αντικείμενο να μπορεί να αναπαρασταθεί σωστά. Για παράδειγμα, μια κλίμακα σε ένα σχέδιο μπορεί να αναπαρασταθεί ως 1 cm = 20 m. Αυτό επιτρέπει στην ομάδα να γνωρίζει ότι για κάθε 1 cm στο σκίτσο, η πραγματική μέτρηση είναι 20 m. Έτσι, αν ένας τοίχος αναπαρίσταται στο σκίτσο ως 4 cm, ο πραγματικός τοίχος πρέπει να είναι 80 m. Όταν οι μηχανικοί κατασκευάζουν πράγματα όπως αυτοκινητόδρομους ή κτίρια, τα σχέδια σε κλίμακα ελέγχονται συνεχώς για να βεβαιωθούν ότι οι αναλογίες είναι πάντα σωστές. Ο διαχωρισμός του πραγματικού μοντέλου σε ενότητες και ο έλεγχος των σωστών αναλογιών κατά την ολοκλήρωση κάθε ενότητας είναι ένας τρόπος με τον οποίο οι ομάδες εργάζονται για να βεβαιωθούν ότι διατηρούν την κλίμακα. Τα λάθη μπορούν να προκαλέσουν απώλεια σημαντικού χρόνου, χρημάτων και υλικών, επομένως η τήρηση της ακρίβειας της ζυγαριάς είναι απαραίτητη.

Εικονίδιο "Κίνητρο για συζήτηση" Παρακινήστε τη συζήτηση

Η κλιμάκωση μπορεί να είναι μια δύσκολη ιδέα στην εφαρμογή της από ορισμένους μαθητές. Αντί να ζητάτε από τους μαθητές να εξασκηθούν στα μαθηματικά που εμπλέκονται, κάντε μια συζήτηση ώστε να μπορέσουν να εξηγήσουν στους συμμαθητές τους πώς συλλογίζονται σχετικά με την κλιμάκωση.
Ε:Ένα κόκκινο κτίριο σε ένα σχέδιο της πόλης έχει ύψος 2 εκατοστά, αλλά στην πραγματικότητα είναι 50 μέτρα. Το γκρι κτίριο δίπλα του στο σχέδιο έχει ύψος μόνο 1 εκατοστό. Πόσο ψηλό είναι στην πραγματικότητα το επόμενο κτίριο;
A:Έχει στην πραγματικότητα ύψος 25 μέτρα. Δείτε την εξήγηση παρακάτω:

Οι αναλογίες δείχνουν ότι δύο λόγοι είναι ίσοι.

Δύο παραδείγματα αναλογίας είναι ίσα. Κάθε πλευρά είναι πανομοιότυπη. Η πρώτη αναλογία αναφέρει «μέγεθος σχεδίου προς το πραγματικό μέγεθος» και η δεύτερη αναλογία αναφέρει «μέγεθος σχεδίου προς το πραγματικό μέγεθος».

Για την αναλογία στα αριστερά, γνωρίζουμε ότι το σχέδιο του κόκκινου κτιρίου έχει ύψος 2 cm, αλλά το πραγματικό μέγεθος του κόκκινου κτιρίου είναι 50 μέτρα.

  • Παρατηρήστε ότι το μέγεθος του σχεδίου είναι στον αριθμητή και το πραγματικό μέγεθος είναι στον παρονομαστή. Είναι σημαντικό να διατηρούνται οι ίδιες τιμές και για τις δύο αναλογίες, ώστε να παραμένουν ίσες.
  • Δεδομένου ότι γνωρίζουμε ότι το μέγεθος σχεδίου του γκρι κτιρίου είναι 1 cm, θα το βάλουμε στον αριθμητή στη δεύτερη αναλογία.
  • Το πραγματικό μέγεθος του γκρι κτιρίου θα μπει στον παρονομαστή, αλλά δεν γνωρίζουμε ακόμα αυτό το μέγεθος, πρέπει να το υπολογίσουμε. Έτσι, προς το παρόν θα βάλουμε εκεί τη μεταβλητή X.

Δύο αναλογίες είναι ίσες. Η πρώτη αναλογία γράφει «δύο εκατοστά πάνω από πενήντα μέτρα» και η δεύτερη αναλογία γράφει «ένα εκατοστό πάνω από τη μεταβλητή X».

Για να λύσουμε τη μεταβλητή X, το άγνωστο πραγματικό μέγεθος του γκρίζου κτιρίου, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο του σταυροειδούς πολλαπλασιασμού.

Οι δύο αναλογίες εμφανίζονται όπως πριν, αλλά τώρα υπάρχουν βέλη που υποδεικνύουν τον σταυροειδή πολλαπλασιασμό. Και πάλι, η πρώτη αναλογία γράφει «δύο εκατοστά πάνω από πενήντα μέτρα» και η δεύτερη αναλογία γράφει «ένα εκατοστό πάνω από τη μεταβλητή X».

Χρησιμοποιώντας τον σταυροειδή πολλαπλασιασμό μας δίνεται το εξής. Το επόμενο βήμα είναι να βρεθεί το άγνωστο μέγεθος του γκρι κτιρίου που ορίζεται από τη μεταβλητή X.

Το αποτέλεσμα του σταυροειδούς πολλαπλασιασμού είναι η εξίσωση «δύο εκατοστά πολλαπλασιασμένα με τη μεταβλητή X ισούται με πενήντα εκατοστά πολλαπλασιασμένα επί ένα μέτρο».

Για να βρούμε το X, πρέπει να αναιρέσουμε τον πολλαπλασιασμό των 2 cm επί τη μεταβλητή X διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2 cm.

Αυτή η εξίσωση είναι παρόμοια με αυτήν που είχαμε στο προηγούμενο βήμα, αλλά τώρα και οι δύο πλευρές διαιρούνται με δύο εκατοστά. Τώρα γράφει «δύο εκατοστά πολλαπλασιασμένα με τη μεταβλητή X διαιρούμενα με δύο εκατοστά ισούται με πενήντα εκατοστά πολλαπλασιασμένα με ένα μέτρο διαιρούμενο με δύο εκατοστά».

Παρατηρήστε ότι όταν διαιρούμε και τις δύο πλευρές με 2 cm, οι μονάδες cm εξουδετερώνονται στην αριστερή και τη δεξιά πλευρά του σημείου ισότητας, αφήνοντας μόνο μέτρα (m) στη δεξιά πλευρά.

Η εξίσωση είναι η ίδια με το τελευταίο βήμα, αλλά όλοι οι όροι του «εκατοστού» διαγράφονται. Τώρα διαβάζουμε «το δύο πολλαπλασιασμένο με τη μεταβλητή Χ διαιρούμενο με το δύο ισούται με πενήντα μέτρα διαιρούμενα με το δύο».

Απλοποιώντας περαιτέρω, βλέπουμε την αριστερή πλευρά να μειώνεται στο άγνωστο πραγματικό μέγεθος του γκρι κτιρίου, το οποίο αντιπροσωπεύεται από τη μεταβλητή X.

  • Στη δεξιά πλευρά, μας μένουν 25 μ. Έτσι, το άγνωστο πραγματικό μέγεθος του γκρι κτιρίου είναι 25 μέτρα.
  • Αυτό είναι λογικό, επειδή αν 2 cm για το μέγεθος του σχεδίου είναι ανάλογα με 50 μέτρα για το πραγματικό μέγεθος, τότε η μείωση αυτού του μεγέθους στο μισό για 1 cm θα πρέπει να ισοδυναμεί με 25 μέτρα.

Το τελικό αποτέλεσμα είναι μια εξίσωση που ορίζει τη μεταβλητή X. Αναφέρει «η μεταβλητή X ισούται με είκοσι πέντε μέτρα».

Ε:Τι θα γινόταν αν θέλαμε να προσθέσουμε στο σχέδιο ένα κτίριο από τούβλα που έχει στην πραγματικότητα ύψος 80 μέτρα; Πόσα εκατοστά πρέπει να είναι;
A:3,2 εκατοστά. Δείτε την εξήγηση παρακάτω:

Οι αναλογίες δείχνουν ότι οι δύο αναλογίες είναι ίσες.

Δύο παραδείγματα αναλογίας είναι ίσα. Κάθε πλευρά είναι πανομοιότυπη. Η πρώτη αναλογία αναφέρει «μέγεθος σχεδίου προς το πραγματικό μέγεθος» και η δεύτερη αναλογία αναφέρει «μέγεθος σχεδίου προς το πραγματικό μέγεθος».

Για την αναλογία στα αριστερά, γνωρίζουμε ότι το σχέδιο του κόκκινου κτιρίου έχει ύψος 2 cm, αλλά το πραγματικό μέγεθος του κόκκινου κτιρίου είναι 50 μέτρα.

  • Παρατηρήστε ότι το μέγεθος του σχεδίου είναι στον αριθμητή και το πραγματικό μέγεθος είναι στον παρονομαστή. Είναι σημαντικό να διατηρούνται οι ίδιες τιμές και για τις δύο αναλογίες, ώστε να παραμένουν ίσες.
  • Δεδομένου ότι γνωρίζουμε ότι το μέγεθος σχεδίου του γκρι κτιρίου είναι 1 cm, θα το βάλουμε στον αριθμητή στη δεύτερη αναλογία.
  • Το πραγματικό μέγεθος του γκρι κτιρίου θα μπει στον παρονομαστή, αλλά δεν γνωρίζουμε ακόμα αυτό το μέγεθος, πρέπει να το υπολογίσουμε. Έτσι, προς το παρόν θα βάλουμε εκεί τη μεταβλητή X.

Δύο αναλογίες είναι ίσες. Η πρώτη αναλογία γράφει «δύο εκατοστά ανά πενήντα μέτρα» και η δεύτερη αναλογία γράφει «η μεταβλητή Χ ανά ογδόντα μέτρα».

Για να λύσουμε την μεταβλητή X, το άγνωστο μέγεθος σχεδίου του κτιρίου από τούβλα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο του σταυροειδούς πολλαπλασιασμού.

Οι δύο αναλογίες εμφανίζονται όπως πριν, αλλά τώρα υπάρχουν βέλη που υποδεικνύουν τον σταυροειδή πολλαπλασιασμό. Και πάλι, η πρώτη αναλογία γράφει «δύο εκατοστά ανά πενήντα μέτρα» και η δεύτερη αναλογία γράφει «η μεταβλητή Χ ανά ογδόντα μέτρα».

Χρησιμοποιώντας τον σταυροειδή πολλαπλασιασμό μας δίνεται το εξής. Το επόμενο βήμα είναι να βρεθεί το άγνωστο μέγεθος του γκρι κτιρίου που ορίζεται από τη μεταβλητή X.

Το αποτέλεσμα του σταυροειδούς πολλαπλασιασμού είναι η εξίσωση «εκατόν εξήντα εκατοστά πολλαπλασιασμένα επί ένα μέτρο ισούται με πενήντα μέτρα πολλαπλασιασμένα επί τη μεταβλητή Χ».

Για να βρούμε τη μεταβλητή X, πρέπει να αναιρέσουμε τον πολλαπλασιασμό των 50 m επί το X διαιρώντας και τις δύο πλευρές με 50 m.

Αυτή η εξίσωση είναι παρόμοια με αυτήν που είχαμε στο προηγούμενο βήμα, αλλά τώρα και οι δύο πλευρές διαιρούνται με πενήντα μέτρα. Τώρα γράφει «εκατόν εξήντα εκατοστά πολλαπλασιασμένα επί ένα μέτρο διαιρούμενο επί πενήντα μέτρα ισούται με πενήντα μέτρα πολλαπλασιασμένα επί τη μεταβλητή Χ διαιρούμενο επί πενήντα μέτρα».

Παρατηρήστε ότι όταν διαιρούμε και τις δύο πλευρές με 50 m, οι μονάδες m (μέτρα) εξουδετερώνονται στην αριστερή και τη δεξιά πλευρά του σημείου ισότητας, αφήνοντας μόνο εκατοστά (cm) στην αριστερή πλευρά.

Η εξίσωση είναι η ίδια με το τελευταίο βήμα, αλλά όλοι οι όροι του «μετρητή» διαγράφονται. Τώρα γράφει «εκατόν εξήντα εκατοστά διαιρούμενο με το πενήντα ισούται με πενήντα πολλαπλασιασμένο με τη μεταβλητή Χ διαιρούμενο με το πενήντα».

Απλοποιώντας περαιτέρω, βλέπουμε ότι η δεξιά πλευρά μειώνεται στο άγνωστο μέγεθος του κτιρίου από τούβλα που σχεδιάσαμε, το οποίο αντιπροσωπεύεται από τη μεταβλητή X.

  • Στην αριστερή πλευρά, μας μένουν 3,2 εκ. Έτσι, το άγνωστο μέγεθος σχεδίου του κτιρίου από τούβλα είναι 3,2 cm.

Το τελικό αποτέλεσμα είναι μια εξίσωση που ορίζει τη μεταβλητή X. Αναφέρει «η μεταβλητή X είναι ίση με τρία εκατοστά, δύο εκατοστά».

< Πίσω Επιστροφή στα Εργαστήρια Επόμενο >