Φόντο

Η οπτικοποίηση είναι μια στρατηγική που χρησιμοποιείται για να βοηθήσει τους μαθητές να κατανοήσουν μαθηματικές έννοιες. Σε αυτήν την Ενότητα, οι μαθητές θα κατασκευάσουν την κατασκευή Κλασμάτων για να τους βοηθήσει να οπτικοποιήσουν τα κλάσματα και να δουν τις συνδέσεις μεταξύ ακεραίων ισοδυνάμων και κλασματικών ισοδυνάμων. Θα χρησιμοποιήσουν κομμάτια VEX GO για να δημιουργήσουν οπτικές αναπαραστάσεις κλασμάτων, καθώς και θα εξασκηθούν στη σωστή γραφή και σχεδίαση.

Τι είναι ένα κλάσμα;

Ένα κλάσμα είναι μια αριθμητική αναπαράσταση των μερών ενός όλου. Ο αριθμητής σας λέει τον αριθμό των κομματιών στο κλάσμα και ο παρονομαστής δείχνει τον αριθμό των κομματιών στο σύνολο. Βλέπουμε και χρησιμοποιούμε κλάσματα για να μας βοηθήσουν να καταλάβουμε πράγματα στην καθημερινή μας ζωή, από τον αριθμό των πίτσες που πρέπει να παραγγείλουμε μέχρι το πόση βενζίνη έχει απομείνει στο ρεζερβουάρ ενός αυτοκινήτου. Η κατανόηση του τρόπου λειτουργίας των κλασμάτων και της σχέσης τους με τους ακέραιους αριθμούς θα είναι μια δεξιότητα στην οποία οι μαθητές θα βασιστούν καθώς μαθαίνουν πιο σύνθετα μαθηματικά.

Πίτσα κομμένη σε οκτώ ίσα μέρη με τα χέρια να απλώνουν τα χέρια τους για να φετίζουν για να αναπαραστήσουν κλάσματα σε ένα πραγματικό πλαίσιο. — Παράδειγμα Χρήσης Κλασμάτων στην Πραγματική Ζωή

Γιατί να οπτικοποιήσουμε κλάσματα;

Η έννοια της διαίρεσης ενός αριθμού σε μέρη μπορεί να είναι πολύ αφηρημένη για να την κατανοήσουν ορισμένοι μαθητές. Η δημιουργία οπτικών αναπαραστάσεων των κλασμάτων τα βοηθά να γίνουν πιο απτά και επιτρέπει στους μαθητές να βλέπουν τις συνδέσεις μεταξύ των μερών και του όλου πιο καθαρά. Αυτό μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους, από το δίπλωμα χαρτιού, μέχρι το στοίβαγμα αναλογικών χειριστηρίων ή μπλοκ μονάδων, μέχρι το σχέδιο και το χρωματισμό. Κάθε μία επιτρέπει στον μαθητή να βλέπει ταυτόχρονα τα μέρη και το σύνολο που αναπαρίστανται από το κλάσμα. Είναι πιο εύκολο να κατανοήσουμε το 2/4 = ½ όταν είναι σαφώς ορατό ότι έχουν το ίδιο μέγεθος.

Τρία παραδείγματα στρατηγικών οπτικοποίησης για κλάσματα. Το πρώτο (από αριστερά προς τα δεξιά) είναι ένα τετράγωνο με μια κάθετη γραμμή που το χωρίζει σε δύο μισά. Η αριστερή πλευρά φέρει την ένδειξη μισή και η δεξιά πλευρά χωρίζεται με οριζόντια γραμμή σε δύο ίσα μέρη, καθένα από τα οποία φέρει την ένδειξη 1/4 για να φαίνεται η ισοδυναμία. Το δεύτερο παράδειγμα είναι ένα σύνολο λωρίδων κλασμάτων στα χρώματα του ουράνιου τόξου που φέρουν ετικέτες από το ένα ολόκληρο έως τα δώδεκα δωδέκατα, και το τρίτο είναι ένας κύκλος χωρισμένος σε πέντε ίσα μέρη, με τα τρία πέμπτα σκιασμένα. — Παραδείγματα Στρατηγικών Οπτικοποίησης για Κλάσματα

Τα κλάσματα είναι κι αυτά αριθμοί

Ένα κλάσμα είναι μέρος ενός αριθμού και ως τέτοιο έχει αριθμητική τιμή και ακολουθία, όπως ακριβώς και οι ακέραιοι αριθμοί. Βλέπουμε ακολουθίες κλασμάτων κάθε φορά που χρησιμοποιούμε μια μεζούρα ή κοιτάμε το ταχύμετρο ενός αυτοκινήτου. Μερικές φορές οι μαθητές αποσυνδέουν τις κλασματικές τιμές από την καταμέτρηση ακεραίων αριθμών. Με αυτόν τον τρόπο, οι μαθητές δυσκολεύονται όταν τους ζητείται να εκτελέσουν πράξεις, όπως πρόσθεση ή πολλαπλασιασμό, με κλάσματα. Τα κλάσματα μπορούν επίσης να απεικονιστούν με διαδοχικό τρόπο. Οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν χειριστικά μέσα όπως χάρακες ή να φτιάξουν τις δικές τους κλασματικές αριθμογραμμές, για να κατανοήσουν τη λειτουργία των κλασμάτων στα μαθηματικά και σε εφαρμογές στην πραγματική ζωή.

Τρία παραδείγματα κλασμάτων σε μια ακολουθία από την καθημερινή ζωή, συμπεριλαμβανομένων χάρακων που εμφανίζονται με ίντσες διαιρούμενες σε οκτώ και σημειωμένες σε βήματα του ενός τετάρτου της ίντσας και βήματα του ενός ογδόου της ίντσας, και μιας μεζούρας. — Παραδείγματα Κλασμάτων σε Ακολουθία σε Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο

Συνήθεις παρανοήσεις σχετικά με τα κλάσματα

Παιδί που διαβάζει ένα σχολικό βιβλίο με ένα ερωτηματικό σε μια φούσκα σκέψης για να δείξει παρανοήσεις σχετικά με τα κλάσματα.

Καθώς οι μαθητές αρχίζουν να κατανοούν καλύτερα τα κλάσματα, υπάρχουν ορισμένες παρανοήσεις που προκύπτουν συχνά. Είναι σημαντικό να διαλύσετε τις παρανοήσεις από νωρίς, ώστε να μην προκαλέσουν μεγαλύτερη σύγχυση καθώς η εργασία γίνεται πιο περίπλοκη.

Λανθασμένη αντίληψη: «Ο αριθμητής πρέπει να είναι μικρότερος από τον παρονομαστή».
Είναι εύκολο να καταλάβει κανείς πώς οι μαθητές μπορεί να πέσουν σε αυτή την παγίδα, καθώς τα πρώτα κλάσματα που συναντούν συχνά ακολουθούν αυτή τη λογική. Βλέποντας τα κλάσματα διαδοχικά, οι μαθητές μπορούν να το οπτικοποιήσουν αυτό ως πλάνη. Είναι χρήσιμο να διδάξετε στους μαθητές ότι μπορούν να μετρούν σε κλάσματα, όπως ακριβώς μπορούν και σε ακέραιους αριθμούς. Η γραφή ακεραίων αριθμών ως κλάσματα (3/1, 6/1, 9/1, κ.λπ.) μπορεί να βοηθήσει στο να γίνει αυτό σαφές, καθώς και ερωτήσεις όπως «Τι ακολουθεί το 4/4;» (5/4, 6/4, 7/4, κ.λπ.)

Παρανόηση: «Ο παρονομαστής μικραίνει καθώς μικραίνουν τα κομμάτια».
Και πάλι, αυτό μπορεί να φαίνεται λογικό σε κάποιο βαθμό, παρόλο που στην πραγματικότητα ισχύει το αντίθετό του - καθώς ο παρονομαστής μικραίνει, τα κομμάτια μεγαλώνουν (ή καθώς ο παρονομαστής μεγαλώνει, τα κομμάτια μικραίνουν). Η οπτικοποίηση των κλασμάτων μπορεί εύκολα να διαλύσει αυτή την εσφαλμένη αντίληψη για τους μαθητές, καθώς είναι σε θέση να δουν και να νιώσουν τα μεγέθη των κομματιών σε σχέση με τα κλάσματα που αναπαριστούν. Η χρήση των κομματιών του VEX GO Kit μπορεί να βοηθήσει στην προβολή αυτού του γεγονότος στους μαθητές ατομικά ή ως ομάδα και θα ενισχυθεί καθ' όλη τη διάρκεια αυτής της Ενότητας.

Κομμάτια VEX GO

Οι μπλε και κίτρινες υποδοχές εξυπηρετούν μια συγκεκριμένη λειτουργία

Οι διάφοροι σύνδεσμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν με πολλούς διαφορετικούς τρόπους και σε αυτήν την κατασκευή, η δυνατότητα κατασκευής ενός τοίχου στο εξωτερικό μιας κατασκευής είναι ιδιαίτερα σημαντική. Ως εκ τούτου, αντί για την κατασκευή με πείρους και δοκούς που θα μπορούσατε να σκεφτείτε ότι θα κατασκεύαζαν τα τοιχώματα ενός κουτιού, οι μπλε και κίτρινοι σύνδεσμοι χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία των πλευρών. Οι μπλε και κίτρινοι σύνδεσμοι επιτρέπουν τη δημιουργία ορθής γωνίας που βρίσκεται δίπλα στο κάτω μέρος του κουτιού, αντί για μέσα σε αυτό, έτσι ώστε ο χώρος μέσα στο κουτί να έχει το ακριβές μέγεθος για να χωρέσει τις πλάκες και τις δοκούς που θα μπουν στο εσωτερικό. Και οι δύο πλευρές του κουτιού είναι κατασκευασμένες με τον ίδιο τρόπο, έτσι ώστε κάθε βασικό κουτί να έχει το ίδιο μέγεθος και να μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αξιολόγηση ισοδύναμων κλασμάτων στο εσωτερικό του.

Κλάσματα που δείχνουν μπλε και κίτρινους συνδετήρες συνδεδεμένους σε γκρι δοκούς, με τις στρογγυλεμένες άκρες τους στραμμένες η μία προς την άλλη. Οι μπλε και κίτρινοι σύνδεσμοι συγκρατούνται μεταξύ τους με μια κόκκινη δοκό που είναι προσαρτημένη με κόκκινες ακίδες. Η κόκκινη δέσμη επισημαίνεται με ροζ περίγραμμα. Υπάρχουν δύο κουτιά στην κατασκευή κλασμάτων και είναι κατοπτρικά είδωλα το ένα του άλλου. — Σημειώστε πώς χρησιμοποιούνται οι μπλε και οι κίτρινες υποδοχές για τη δημιουργία των πλευρών του κουτιού.

Αναλογικές πλάκες και δοκοί που ταιριάζουν μεταξύ τους

Οι πλάκες και οι δοκοί του κιτ VEX GO σχετίζονται αναλογικά μεταξύ τους σε μέγεθος και σχήμα και, ως εκ τούτου, ταιριάζουν μεταξύ τους με ακριβή τρόπο (παρόμοια με τα μπλοκ μονάδων). Αυτό τα καθιστά ιδανικά χειριστικά εργαλεία για την εξερεύνηση των σχέσεων μεταξύ των κλασμάτων με απτό τρόπο. Εκτός από τις δραστηριότητες με την κατασκευή Κλασμάτων στο Εργαστήριο, οι δοκοί και οι πλάκες μπορούν να τοποθετηθούν και να αναδιαταχθούν ανεξάρτητα από την κατασκευή, ώστε να γίνουν ορατά στους μαθητές, κάτι που αποτελεί μια χρήσιμη στρατηγική για όσους μαθητές μπορεί να δυσκολεύονται να κάνουν τις συνδέσεις.

Τομές δοκών και πλακών της αφίσας εξαρτημάτων VEX GO για να δείξουν την αναλογικότητά τους. — Αυτή η αναλογικότητα είναι ορατή στην αφίσα VEX GO

< Πίσω Επιστροφή στα Εργαστήρια Επόμενο >